Varighed, konveksitet og kurverisiko
| Renteændring | Effektiv rente | Kurs inkl. vedh. rente | Kursændring |
|---|---|---|---|
| +1%-point | 3,45% | 90,572 | -8,122 |
| -1%-point | 1,45% | 107,689 | +8,995 |
En obligation har en effektiv rente på 2,00 pct samt en kronevarighed på 4,5 kr og kronekonveksitet på 0,8 kr.
Hvad bliver ændringen i kursen ved et hhv. fald i renten 0,5 procentpoint og stigning 0,5 procentpoint?
Fald:
\[ \Delta P = 0,5 \cdot 4,5 \;+\; \tfrac{1}{2} \cdot 0,8 \cdot (-0,5)^2 = 2,35 \text{ kr.} \]
Stigning: \[ \Delta P \;=\; -0,5 \cdot 4,5 \;+\; \tfrac{1}{2} \cdot 0,8 \cdot (0,5)^2 \;=\; -2,15 \text{ kr.} \]
| Nom. beløb | Kurs | Markedsværdi (M) | Macaulay varighed | Mod. varighed | Kronevarighed | Kronekonveksitet | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Obligation 1 | 10.000.000 | 99,3 | 9.930.000 | 2,20 | 2,18 | 2,16 | 0,14 |
| Obligation 2 | 15.000.000 | 101,5 | 15.225.000 | 4,80 | 4,73 | 4,80 | 0,34 |
| Obligation 3 | 25.000.000 | 102,8 | 25.700.000 | 10,50 | 10,30 | 10,59 | 1,20 |
| Portefølje | 50.000.000 | – | 50.855.000 | 7,17 | 7,05 | 7,17 | 0,73 |
Porteføljevarighed findes som markedsværdivægtet gennemsnit:
\[
D_P = \frac{9{,}93M \cdot 2,20 + 15{,}225M \cdot 4,80 + 25{,}625M \cdot 10,50}{9{,}93M+15{,}225M+25{,}625M}
= 7,17
\]
Modificeret varighed vægtes tilsvarende:
\[
MD_P = \frac{9{,}93M \cdot 2,18 + 15{,}225M \cdot 4,73 + 25{,}625M \cdot 10,14}{50{,}780M}
= 7,05
\]
Eller:
\[
MD = \frac{D}{1+r} = \frac{7,17}{1+0,0177} = 7,05
\]
Vægtes med nom. beløb:
\[
d = \frac{10M \cdot 2,16 + 15M \cdot 4,80 + 25M \cdot 10,59}{50M}
= 7,17
\]
Fortolkning:
Samlet for porteføljen:
\[
d_{tot} = \frac{7,17 \cdot 50M}{100} = 3,59 \,\text{mio. kr.}
\]
Vægtes med nom. beløb:
\[
C = \frac{10M \cdot 0,14 + 15M \cdot 0,34 + 25M \cdot 1,20}{50M} = 0,73 \,\text{kr.}
\]
Fortolkning:
Fx ved ±1 %-point:
\[
\tfrac{1}{2}\cdot 0,73 = 0,37 \,\text{kr.}
\]
→ porteføljen justeres yderligere for at få et mere præcist billede af risikoen.
| Tid | CF | Nulkuponrente | Eff. rente (Mac.) | Nulkupon (F–W) | Vægt (Mac.) | Vægt (F–W) | Vægt·Tid (Mac.) | Vægt·Tid (F–W) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2,25 | 1,25 % | 2,19 | 2,22 | 2,22 % | 2,32 % | 0,0222 | 0,0232 |
| 2 | 2,25 | 2,50 % | 2,13 | 2,14 | 2,16 % | 2,23 % | 0,0432 | 0,0447 |
| 3 | 102,25 | 3,75 % | 94,18 | 91,56 | 95,62 % | 95,45 % | 2,8685 | 2,8635 |
| Kurs | 98,50 | 95,92 | 2,9339 | 2,9313 |
| Kronevarighed | 1-årig rente | 3-årig rente | 5-årig rente | 10-årig rente | |
|---|---|---|---|---|---|
| Eksempel | 5 kr. | 0,5 kr. | 1,5 kr. | 2 kr. | 1 kr. |
| Tid (år) | Nulkupon | Chok 1 | Chok 2 | CF | NV CF | NV Chok 1 | NV Chok 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1,0 % | 2,0 % | 1,0 % | 3,00 | 2,97 | 2,94 | 2,97 |
| 2 | 2,0 % | 2,5 % | 2,5 % | 3,00 | 2,88 | 2,86 | 2,86 |
| 3 | 3,0 % | 3,0 % | 4,0 % | 103,00 | 94,26 | 94,26 | 91,57 |
| Nutidsværdi | 100,11 | 100,06 | 97,39 | ||||
| Følsomhed (Nøglerentevarighed) | -0,06 | -2,72 |
| Tid (år) | Nulkuponrente i dag | Nulkuponrente chok 1 | Nulkuponrente chok 2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 3,00 % | 4,00 % | 3,00 % |
| 2 | 3,50 % | 4,00 % | 4,00 % |
| 3 | 4,00 % | 4,00 % | 5,00 % |
Finansiering — Risikomål